hypergeometrische Differenzialgleichung

hypergeometrische Differenzialgleichung,

 

gaußsche Differenzialgleichung, lineare gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung mit drei frei verfügbaren Parametern α, β, γ (daher gute Anpassungsmöglichkeit an spezielle Anwendungsbedingungen) der Form

 

sie hat für γ ≠ 0, —1, —2,. .. eine Potenzreihe als Lösung, die man mithilfe des Reihenansatzes

 

findet; man kommt dabei unter Verwendung der Bezeichnungsweise

 

worin Γ die Gammafunktion ist, auf die hypergeometrische Reihe oder hypergeometrische Funktion

 

die den Konvergenzradius 1 besitzt. Diese Funktion enthält für spezielle Parameter viele bekannte Funktionen der Analysis. Im allgemeinen Fall kann F (α, β, γ; x) nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden.